题目内容
13．已知$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，A（1，3）在双曲线右支上有一点P，求|PA|+|PF1|的最小值．（F1为其左焦点）分析 依题意，可求得F1（-4，0），F2（4，0），P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义|PF1|-|PF2|=4，可求得|PF1|=|PF2|+4，从而可求得|PF1|+|PA|的最小值．
解答 
解：∵P在双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右支上，
∴|PF1|-|PF2|=2a=4，
∴|PF1|=|PF2|+4，
又A（1，3），双曲线右焦点F2（4，0），
∴|PF1|+|PA|
=|PF2|+4+|PA|
≥|AF2|+4
=$\sqrt{（4-1）^{2}+（0-3）^{2}}$+4
=4+3$\sqrt{2}$（当且仅当A、P、F2三点共线时取“=”）．
则|PA|+|PF1|的最小值为4+3$\sqrt{2}$．
点评 本题考查双曲线的简单性质，利用双曲线的定义将|PF1|转化为|PF2|+4是关键，考查转化思想与应用不等式的能力，属于中档题．
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