题目内容
18.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围为(-∞,2-$\frac{1}{e}$)∪(2-$\frac{1}{e}$,2).分析 函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线?方程f′(x)=$\frac{1}{x}$+a在区间x∈(0,+∞)上有解,并且去掉直线2x-y=0与曲线f(x)相切的情况,解出即可.
解答 解:函数f(x)=lnx+ax的导数为f′(x)=$\frac{1}{x}$+a(x>0).
∵函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,
∴方程$\frac{1}{x}$+a=2在区间x∈(0,+∞)上有解.
即a=2-$\frac{1}{x}$在区间x∈(0,+∞)上有解.
∴a<2.
若直线2x-y=0与曲线f(x)=lnx+ax相切,设切点为(x0,2x0).
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}+a=2}\\{2{x}_{0}=ln{x}_{0}+a{x}_{0}}\end{array}\right.$,解得x0=e.
此时a=2-$\frac{1}{e}$.
综上可知:实数a的取值范围是(-∞,2-$\frac{1}{e}$)∪(2-$\frac{1}{e}$,2).
故答案为:(-∞,2-$\frac{1}{e}$)∪(2-$\frac{1}{e}$,2).
点评 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法,属于中档题.
练习册系列答案
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10.某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷调查,结果如表:
(Ⅰ)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关?
(Ⅱ)从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家,然后从这8家中选出2家,求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(b+d)}$
支持 | 不支持 | 合计 | |
中型企业 | 80 | 40 | 120 |
小型企业 | 240 | 200 | 440 |
合计 | 320 | 240 | 560 |
(Ⅱ)从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出8家,然后从这8家中选出2家,求这2家中恰好中、小型企业各一家的概率
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(b+d)}$
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
K0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
7.已知F1(-c,0),F2(c,0)是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左右两个焦点,P为椭圆上的一点,且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$,则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. | $(0,\frac{{\sqrt{3}}}{3}]$ | B. | $(0,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$ | C. | $[\frac{1}{3},\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$ | D. | $[\frac{{\sqrt{3}}}{3},\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$ |