题目内容

18.函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围为(-∞,2-$\frac{1}{e}$)∪(2-$\frac{1}{e}$,2).

分析 函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线?方程f′(x)=$\frac{1}{x}$+a在区间x∈(0,+∞)上有解,并且去掉直线2x-y=0与曲线f(x)相切的情况,解出即可.

解答 解:函数f(x)=lnx+ax的导数为f′(x)=$\frac{1}{x}$+a(x>0).
∵函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,
∴方程$\frac{1}{x}$+a=2在区间x∈(0,+∞)上有解.
即a=2-$\frac{1}{x}$在区间x∈(0,+∞)上有解.
∴a<2.
若直线2x-y=0与曲线f(x)=lnx+ax相切,设切点为(x0,2x0).
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{x}_{0}}+a=2}\\{2{x}_{0}=ln{x}_{0}+a{x}_{0}}\end{array}\right.$,解得x0=e.
此时a=2-$\frac{1}{e}$.
综上可知:实数a的取值范围是(-∞,2-$\frac{1}{e}$)∪(2-$\frac{1}{e}$,2).
故答案为:(-∞,2-$\frac{1}{e}$)∪(2-$\frac{1}{e}$,2).

点评 本题考查了导数的几何意义、切线的斜率、相互平行的直线之间的斜率关系、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法,属于中档题.

练习册系列答案
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6.在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们在平面向量集D={$\overrightarrow{a}$|$\overrightarrow{a}$=(x,y),x∈R,y∈R}上也可以定义一个称“序”的关系,记为“>>”.定义如下:对于任意两个向量$\overrightarrow{{a}_{1}}$=(x1,y1),$\overrightarrow{{a}_{2}}$=(x2,y2),“$\overrightarrow{{a}_{1}}$>>$\overrightarrow{{a}_{2}}$”当且仅当“x1>x2”或“x1=x2且y1>y2”.按上述定义的关系“>>”,给出如下四个命题:
①若$\overrightarrow{{e}_{1}}$=(1,0),$\overrightarrow{{e}_{2}}$=(0,1),$\overrightarrow{0}$=(0,0),则$\overrightarrow{{e}_{1}}$>>$\overrightarrow{{e}_{2}}$>>$\overrightarrow{0}$;  
②若$\overrightarrow{{a}_{1}}$>>$\overrightarrow{{a}_{2}}$,$\overrightarrow{{a}_{2}}$>>$\overrightarrow{{a}_{3}}$,则$\overrightarrow{{a}_{1}}$>>$\overrightarrow{{a}_{3}}$;
③若$\overrightarrow{{a}_{1}}$>>$\overrightarrow{{a}_{2}}$,则对于任意$\overrightarrow{a}$∈D,$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{a}$>>$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{a}$; 
④对于任意向量$\overline{a}$>>$\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{0}$=(0,0),若$\overrightarrow{{a}_{1}}$>>$\overrightarrow{{a}_{2}}$,则$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{a}$>$\overrightarrow{{a}_{2}}$•$\overrightarrow{a}$.
其中正确命题的个数为(  )
A.1个B.2个C.3个D.4个

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