Question

9．已知函数f（x）=log₃（x-a）的图象经过点P（2a，1）．
（1）求a的值；
（2）设g（x）=f（x）+b，若函数y=g（x）在（3，4）有且仅有一个零点，求实数b的取值范围；
（3）设h（x）=f（x）+$\frac{m}{f（x）}$，是否存在正实数m，使得函数y=h（x）在[4，10]内的最大值为4？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出a的值．
（2）根据（1）的解析式，利用g（3）g（4）＜0，进一步求出b的取值范围．
（3）利用分类讨论的思想对函数进行分类讨论，对勾函数的性质的应用单调性，再利用函数的存在性问题求出实数m的值．

解答 解：（1）已知函数f（x）=log₂（x-a）的图象经过点P（2a，1）．
所以：1=log₂（2a-a），
解得：a=2；
（2）由（1）得：f（x）=log₂（x-2），
所以：g（x）=log₂（x-2）+b，为定义域上的增函数，
函数y=g（x）在（3，4）有且仅有一个零点，
所以：g（3）•g（4）＜0，
则：[log₂（3-2）+b][log₂（4-2）+b]＜0，
解得：-1＜b＜0．
（3）h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$
=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$
当m＞0时，函数为对勾函数，
当①$\sqrt{m}$≥10，h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$在区间[4，10]内递减，
所以：当x=4时，取得最大值4，
解得：m=3（舍去）
②0＜$\sqrt{m}$≤4，h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$在区间[4，10]内递增，
当x=10时，${log}_{2}（10-2）+\frac{m}{{log}_{2}（10-2）}$=4，
整理得：$3+\frac{m}{3}=4$
解得：m=3
③当4＜$\sqrt{m}$＜10，h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$在区间[4，10]内的端点处取到（实际上取不到）最值，故不存在最值．
综上所述：存在正实数m=3，使函数h（x）=$f（x）+\frac{m}{f（x）}$=${log}_{2}（x-2）+\frac{m}{{log}_{2}（x-2）}$的最大值为4，

点评 本题考查的知识要点：利用待定系数法求函数的解析式，函数的零点的应用，对勾函数的应用，主要考查学生的应用能力．