Question

4．已知log₂（x+y）=log₂x+log₂y，则$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$的最小值是（　　）

• A． 16
• B． 25
• C． 36
• D． 81

Answer 1

分析 根据对数的运算法则得到$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，然后将$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$进行化简整理为$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$=9x+4y，然后利用基本不等式进行求解．

解答 解：∵log₂（x+y）=log₂x+log₂y，
∴log₂（x+y）=log₂（xy），
即x+y=xy＞0，且x＞0，y＞0，
即$\frac{x+y}{xy}$=1，
即$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，则$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{y}$，$\frac{1}{y}$=1-$\frac{1}{x}$，
则$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$=$\frac{4}{1-\frac{1}{x}}$+$\frac{9}{1-\frac{1}{y}}$=$\frac{4}{\frac{1}{y}}$+$\frac{9}{\frac{1}{x}}$=9x+4y，
∵9x+4y=（9x+4y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）=9+4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥13+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{9x}{y}}$=13+2×6=25，
当且仅当$\frac{4y}{x}$=$\frac{9x}{y}$，即4y²=9x²，即2y=3x时取等号，
∴$\frac{4x}{x-1}+\frac{9y}{y-1}$的最小值是25．
故选：B

点评 本题主要考查函数最值的求解以及对数的运算法则，根据基本不等式是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．