题目内容
12.设数列{an}的前n项和为Sn,点$({n,\frac{S_n}{n}})({n∈{N^*}})$在直线3x-y-1=0上,设cn=$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$,Tn是数列{cn}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求使得Tn<$\frac{K}{9}$对所有的n∈N*都成立的最小正整数K;
(3)是否存在正整数m,n(1<m<n),使T1,Tm,Tn成等比数列?若存在,求出所有m,n的值;若不存在,请说明理由.
分析 (1)通过将点$({n,\frac{S_n}{n}})({n∈{N^*}})$代入直线3x-y-1=0、整理得Sn=3n2-n,利用Sn=3n2-n与Sn+1=3(n+1)2-(n+1)作差、计算即得结论;
(2)通过裂项可知cn=$\frac{1}{3}•$($\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$),并项相加得Tn=$\frac{n}{3n+1}$,通过整理可知K>$\frac{9}{3+\frac{1}{n}}$,利用极限思想即得结论;
(3)通过假设存在正整数m,n(1<m<n)满足条件、化简可知$\frac{6m+1}{{m}^{2}}$=$\frac{3n+4}{n}$,进而计算可得结论.
解答 解:(1)∵点$({n,\frac{S_n}{n}})({n∈{N^*}})$在直线3x-y-1=0上,
∴3n-$\frac{{S}_{n}}{n}$-1=0,
整理得:Sn=3n2-n,
∴Sn+1=3(n+1)2-(n+1),
两式相减得:an+1=[3(n+1)2-(n+1)]-[3n2-n]=6(n+1)-4,
又∵a1=S1=3-1=2满足上式,
∴an=6n-4;
(2)∵an=6n-4,
∴cn=$\frac{4}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{4}{(6n-4)(6n+2)}$=$\frac{1}{3}•$($\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$),
∴Tn=$\frac{1}{3}•$(1-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{3n-2}$-$\frac{1}{3n+1}$)=$\frac{1}{3}$(1-$\frac{1}{3n+1}$)=$\frac{n}{3n+1}$,
∴Tn<$\frac{K}{9}$即$\frac{n}{3n+1}$<$\frac{K}{9}$,
即K>$\frac{9n}{3n+1}$=$\frac{9}{3+\frac{1}{n}}$,
而$\frac{9}{3+\frac{1}{n}}$随着n的增大而增大,并越来越接近于3,
∴最小正整数K=3;
(3)结论:存在正整数m=2、n=16使T1、Tm、Tn成等比数列.
理由如下:
由(2)可知Tn=$\frac{n}{3n+1}$,
假设存在正整数m,n(1<m<n),使T1,Tm,Tn成等比数列,
则${{T}_{m}}^{2}$=T1•Tn,即$(\frac{m}{3m+1})^{2}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{n}{3n+1}$,
整理得:$\frac{6m+1}{{m}^{2}}$=$\frac{3n+4}{n}$,
∴当m=1时,7=$\frac{3n+4}{n}$,解得n=1,不符合题意;
当m=2时,$\frac{13}{4}$=$\frac{3n+4}{n}$,解得n=16,符合题意;
当m=3时,$\frac{19}{9}$=$\frac{3n+4}{n}$,n无正整数解;
当m=4时,$\frac{25}{16}$=$\frac{3n+4}{n}$,n无正整数解;
当m=5时,$\frac{31}{25}$=$\frac{3n+4}{n}$,n无正整数解;
当m=6时,$\frac{37}{36}$=$\frac{3n+4}{n}$,n无正整数解;
当m≥7时,∵m2-6m-1=(m-3)2-10>0,
∴$\frac{6m+1}{{m}^{2}}$<1,
而$\frac{3n+4}{n}$=3+$\frac{4}{n}$>3,
∴此时不存在正整数m、n(1<m<n),使T1、Tm、Tn成等比数列;
综上所述,存在正整数m=2、n=16使T1、Tm、Tn成等比数列.
点评 本题主要考查数列的通项,裂项法,数列的函数性质、考查了学生计算、综合分析问题、解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | y′=2xcosx+x2sinx | B. | y′=2xcosx-x2sinx | ||
C. | y′=2xsinx+x2cosx | D. | y′=2xsinx-x2cosx |
A. | {-1,3} | B. | {-1,1,3} | C. | {-1,1,2,-3,3} | D. | {-1,1,-3} |
A. | $\frac{63}{16}$ | B. | -$\frac{63}{16}$ | C. | $\frac{63}{8}$ | D. | -$\frac{63}{8}$ |
A. | 8 | B. | -8 | C. | -8或8 | D. | 4 |