Question

【题目】从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本，分别统计出这些试卷总分，由总分得到如下的频率分布直方图．
（1）求这100份数学试卷的样本平均分 和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）由直方图可以认为，这批学生的数学总分Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数 ，σ2近似为样本方差s2 ． ①利用该正态分布，求P（81＜z＜119）；
②记X表示2400名学生的数学总分位于区间（81，119）的人数，利用①的结果，求EX（用样本的分布区估计总体的分布）．
附： ≈19， ≈18，若Z=～N（μ，2），则P（μ﹣σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意， =60×0.02+70×0.08+80×0.14+90×0.15+100×0.24+110×0.15+120×0.1+130×0.08+140×0.04=100，

样本方差s2=（60﹣100）2×0.02+（70﹣100）2×0.08+（80﹣100）2×0.14+（90﹣100）2×0.15+（100﹣100）2×0.24+（110﹣100）2×0.15+（120﹣100）2×0.1+（130﹣100）2×0.08+（140﹣100）2×0.04=366

（2）解：Z～N（100，366），P（81＜z＜119）=P（100﹣19＜z＜100+19）=0.6826；

②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～（2400，0.6826），

EX=2400×0.6826=1638.24

【解析】（1）一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求这100份数学试卷的样本平均分 和样本方差s2；（2）①利用该正态分布，Z～N（100，366），即可求P（81＜z＜119）；②数学总分位于区间（81，119）的概率为0.6826，X～（2400，0.6826），即可求EX．
【考点精析】解答此题的关键在于理解频率分布直方图的相关知识，掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息．