Question

【题目】已知椭圆C： 的短轴长为2 ，离心率e= ，
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 …

解得

故椭圆的标准方程为

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，

因为△F1AB的周长为4a=8， ，

因此 最大，R就最大…（6分） ，

由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，

由 得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

所以，

又因直线l与椭圆C交于不同的两点，

故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，则

令 ，则t≥1， ．

令 ，由函数的性质可知，函数f（t）在 上是单调递增函数，

即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，

因此有 ，所以 ，

即当t=1，m=0时， 最大，此时 ，

故当直线l的方程为x=1时，△F1AB内切圆半径的最大值为

【解析】（1）利用已知条件列出方程组求出a，b，然后求解椭圆的方程．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB的周长与面积，设直线l的方程为x=my+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令 ，利用基本不等式求解面积的最大值，然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为 ．