题目内容
【题目】如图所示,一张形状为等边三角形的纸片,边长为8,将它对折,使顶点落在边上,当点沿着从点到点移动时,求折痕长的最大值及最小值.
【答案】最大值为,最小值为4
【解析】
设,根据对称性只需考虑.由正弦定理可得(用表示),从而可得,类比可得,即得折痕函数关系式,再化简得,根据三角函数单调性确定折痕函数单调性,最后根据单调性求最值.
解 设对折后点落在上的点为,折痕为交于点,则是的中垂线,设,由等边三角形的对称性可知,我们只需考虑.
在中,由正弦定理,得,即.
在与中,
,
.
.
考察分母中的.
.
当时,,
所以是递增函数且也是递增函数.
因为它们的函数值均为正,所以在递增.
当时,取最大值为.当时,取最小值为4.
所以折痕长的最大值为,最小值为4.
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