Question

【题目】设圆C与两圆，中的一个内切，另一个外切．

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点，，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；最大值2.

【解析】

（1）设出圆心坐标，根据相切关系建立等式，结合双曲线的定义可求轨迹方程；

（2）求出直线的方程，联立双曲线方程求出交点坐标，结合几何性质可求结果.

（1）设圆C的圆心坐标为，，由题意，

或，

所以

所以圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上, 且实轴为4，焦距为的双曲线，

，

故的圆心轨迹的方程为.

（2）过点的直线方程为，代入，

解得.

故直线与的交点为.

因为在线段外，在线段上，故，

.

若点不在上，则， 若点在处，则；

综上所述，只在点处取到最大值2，此时点的坐标为

.