题目内容
2.已知直线l:y=mx+m(|m|<1.m≠0),抛物线C:y2=4x(1)求证:l与抛物线C必相交于两点
(2)求截得的弦AB的长
(3)当m为何值时,弦AB的中点在直线x-y-3=0上.
分析 (1)直线l:y=mx+m(|m|<1.m≠0),抛物线C:y2=4x联立,证明△>0,即可证明l与抛物线C必相交于两点
(2)利用韦达定理及弦长公式,即可求截得的弦AB的长
(3)求出弦AB的中点,代入直线x-y-3=0,即可得出结论.
解答 (1)证明:直线l:y=mx+m(|m|<1.m≠0),抛物线C:y2=4x联立可得m2x2+(2m2-4)+m2=0
∴△=(2m2-4)2-4m4=16(1-m2)>0,
∴l与抛物线C必相交于两点
(2)解:设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=-2+$\frac{4}{{m}^{2}}$,x1x2=1
∴截得的弦AB的长=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{(-1+\frac{4}{{m}^{2}})^{2}-4}$=$\frac{\sqrt{(1+{m}^{2})(16-8{m}^{2}-3{m}^{4})}}{{m}^{2}}$
(3)解:弦AB的中点(-1+$\frac{2}{{m}^{2}}$,$\frac{2}{m}$),
∵弦AB的中点在直线x-y-3=0上,
∴-1+$\frac{2}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{m}$-3=0,
∴m=1或-$\frac{1}{2}$,
即m=1或-$\frac{1}{2}$时,弦AB的中点在直线x-y-3=0上.
点评 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查弦长的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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7.下列说法错误的是( )
A. | 命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题是“若x≠1,则x2-3x+2≠0” | |
B. | “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 | |
C. | 对于命题p:?x∈R可使x2+x+1<0,则?p为:?x∈R,均有x2+x+1≥0 | |
D. | 若命题p且q为假命题,则p、q均为假命题 |
11.函数y=$\frac{1-3x}{1+x}$的值域是( )
A. | {y|y∈R,且y≠-3} | B. | {y|y∈R,且y≠0} | C. | (-∞,3)∪(3,+∞) | D. | [-3,3] |