Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：①f（-

1

2

）=

1

2

；②f（3.4）=-0.4；③f（-

1

4

）＜f（

1

4

）；④y=f（x）的定义域是R，值域是[-

1

2

，

1

2

]；则其中真命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：在理解新定义的基础上，求出{-

1

2

}、{3.4}、{-

1

4

}、{

1

4

}对应的整数，进而利用函数f（x）=x-{x}可判断①②③的 正误；而对于④易知f（x）=x-{x}的值域为（-

1

2

，

1

2

]，则④错误．此时即可作出选择．

解答：解：①∵-1-

1

2

＜-

1

2

≤-1+

1

2

∴{-

1

2

}=-1∴f（-

1

2

）=-

1

2

-{-

1

2

}=-

1

2

+1=

1

2

，∴①正确；
②∵3-

1

2

＜3.4≤3+

1

2

∴{3.4}=3∴f（3.4）=3.4-{3.4}=3.4-3=0.4∴②错误；
③∵0-

1

2

＜-

1

4

≤0+

1

2

∴{-

1

4

}=0∴f（-

1

4

）=-

1

4

-0=-

1

4

，
∵0-

1

2

＜

1

4

≤0+

1

2

∴{

1

4

}=0∴f（

1

4

）=

1

4

-0=

1

4

，∴③正确；
④中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴④错误．
故答案为：①③．

点评：本题考查的知识点函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求函数值、值域的方法，对4个结论进行验证．