题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点坐标为别为
,
,离心率是
. 椭圆
的左、右顶点分别记为
,
.点
是椭圆
上位于
轴上方的动点,直线
,
与直线
分别交于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)求线段长度的最小值.
(Ⅲ)当线段的长度最小时,在椭圆
上的点
满足:
的面积为
.试确定点
的个数.
【答案】(1)(2)
(3)2
【解析】分析:(1)先根据焦点坐标得,再根据离心率得a,解得b,(2)设直线
的方程为
,解得S,得直线
的方程,与直线
联立解得M,N坐标,即得
,最后根据基本不等式求最值,(3)当线段
的长度最小时,求出S,由
的面积得点
到直线
的距离等于
,与点T在椭圆上,联立方程组,根据解的个数确定点
的个数.
详解:解:(Ⅰ)∵,且
,
∴,
,
∴椭圆的方程为
.
(Ⅱ)易知椭圆的左、右顶点坐标为
,
,直线
的斜率
显然存在,且
,故可设直线
的方程为
,
从而.
由得
.
设,则
,得
,
从而,即
.
又,故直线
的方程为
,
由得
,
∴,故
,
当且仅当,即
时等号成立.
故当时,线段
的长度取最小值
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当线段的长度最小值时,
,
此时的方程为
,
,
∴,
要使的面积为
,只需点
到直线
的距离等于
,
所以点在平行于
且与
距离等于
的直线
上.
设,则由
,解得
或
.
①当时,由
得
,
∵,故直线
与椭圆
有两个不同交点.
②当时,由
得
,
∵,故直线
与椭圆
没有交点.
综上所述,点的个数为
.
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