题目内容

(2013•江西)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为BD的中点,G为PD的中点,△DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA=
32
,连接CE并延长交AD于F
(1)求证:AD⊥平面CFG;
(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
分析:(1)利用直角三角形的判定得到∠BAD=
π
2
,且∠ABE=∠AEB=
π
3
.由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠FEA=
π
3
,所以EF⊥AD且AF=FD,结合题意得到FG是△PAD是的中位线,可得FG∥PA,根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD,得到FG⊥AD,最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG;
(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,得到A、B、C、D、P的坐标,从而得到
BC
CP
CD
的坐标,利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组,解出
m
=(1,-
3
3
2
3
)和
n
=(1,
3
,2)分别为平面BCP、平面DCP的法向量,利用空间向量的夹角公式算出
m
n
夹角的余弦,即可得到平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值.
解答:解:(1)∵在△DAB中,E为BD的中点,EA=EB=AB=1,
∴AE=
1
2
BD,可得∠BAD=
π
2
,且∠ABE=∠AEB=
π
3

∵△DAB≌△DCB,∴△EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=
π
3

∴∠FED=∠FEA=
π
3
,可得EF⊥AD,AF=FD
又∵△PAD中,PG=GD,∴FG是△PAD是的中位线,可得FG∥PA
∵PA⊥平面ABCD,∴FG⊥平面ABCD,
∵AD?平面ABCD,∴FG⊥AD
又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线,∴AD⊥平面CFG;
(2)以点A为原点,AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系,可得
A(0,0,0),B(1,0,0),C(
3
2
3
2
,0),D(0,
3
,0),P(0,0,
3
2

BC
=(
1
2
3
2
,0),
CP
=(-
3
2
,-
3
2
3
2
),
CD
=(-
3
2
3
2
,0)
设平面BCP的法向量
m
=(1,y1,z1),则
m
BC
=
1
2
+
3
2
y1=0
m
CP
=-
3
2
-
3
2
y1+
3
2
z1=0

解得y1=-
3
3
,z1=
2
3
,可得
m
=(1,-
3
3
2
3
),
设平面DCP的法向量
n
=(1,y2,z2),则
n
CD
=-
3
2
+
3
2
y2=0
n
CP
=-
3
2
-
3
2
y2+
3
2
z2=0

解得y2=
3
,z2=2,可得
n
=(1,
3
,2),
∴cos<
m
n
>=
m
n
|
m
|•|
n
|
=
1×1+(-
3
3
3
+
2
3
×2
1+
1
3
+
4
9
1+3+4
=
2
4

因此平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值等于|cos<
m
n
>|=
2
4
点评:本题在三棱锥中求证线面垂直,并求平面与平面所成角的余弦值.着重考查了空间线面垂直的判定与性质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档题.
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