题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)记的极小值为
,求
的最大值;
(Ⅱ)若对任意实数恒有
,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
的取值范围是
.
【解析】
试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极小值的表达式,根据函数的单调性求出
的最大值即可;
(2)通过讨论的范围,问题转化为
,根据函数的单调性求出
的范围即可.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域是
,
.
,得
,所以
的单调区间是
,函数
在
处取极小值,
.
,当
时,
,
在
上单调递增;
当时,
,
在
上单调递减.
所以是函数
在
上唯一的极大值点,也是最大值点,所以
.
(Ⅱ)当时,
,
恒成立.
当时,
,即
,即
.
令,
,
,
当时,
,当
,故
的最小值为
,
所以,故实数
的取值范围是
.
,
,
,由上面可知
恒成立,
故在
上单调递增,所以
,
即的取值范围是
.
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