题目内容
【题目】设,在平面直角坐标系中,已知向量
,向量
,动点
的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹
恒有两个交点
,且
为坐标原点),并求该圆的方程.
【答案】(1)方程,当
时,该方程表示两条直线;当
时,该方程表示圆;当
时, 且
时,该方程表示椭圆;当
时,该方程表示双曲线;(2)
.
【解析】
试题分析:
(1)要求轨迹方程,本小题用直接法求解,即把已知条件用数学式(用坐标)表示出来即可;
(2)本小题是证明题,涉及到圆与切线,直线与椭圆相交,因此设圆方程为,圆的切线方程为
(斜率存在时),切线与椭圆的交点为
,关键是求出
,由直线与圆相切可得
,即
,已知条件
为
,由直线方程与椭圆方程联立方程组,代入消元后可得
,代入刚才的
,可得
关系,由此关系应该可求得
,这时还需验证斜率不存在的圆的切线也满足题意.
试题解析:(1),即
,故
,即
.
当时,该方程表示两条直线;当
时,该方程表示圆;当
时,且
时,该方程表示椭圆;
当时,该方程表示双曲线.
(2)当时,轨迹
的方程为
,设圆的方程为
,当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为
,
,所以
,即
.①
因为,即
,整理得
.②
由方程组,消去
得
.③
由根与系数的关系得,
代入②式并整理得,即
,结合①式有
,当切线斜率不存在时,
也满足题意,
故所求圆的方程为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目