题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F1、F2分别为椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,D(1,0)为线段OF2的中点,且
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M为椭圆上的动点(异于A、B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2,试问题是否存在常数,使得
恒成立?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)-
【解析】
(1)∵+5
=0,∴
=5
.∴a+c=5(a-c),化简得2a=3c,故椭圆E的离心率为
.
(2)存在满足条件的常数λ,λ=-.点D(1,0)为线段OF2的中点,∴c=2,从而a=3,b=
,左焦点F1(-2,0),椭圆E的方程为
=1,设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4),则直线MD的方程为x=
y+1,代入椭圆方程
=1,整理得,
y2+
y-4=0.∵y1+y3=
,∴y3=
.从而x3=
,故点P
.同理,点Q
.∵三点M、F1、N共线,∴
,从而x1y2-x2y1=2(y1-y2).从而k2=
,故k1-
=0,从而存在满足条件的常数λ=-
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