题目内容
已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜
（I）若cos
cosφ-sin
sinφ=0，求φ的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所对应的函数是偶函数．
| π |
| 2 |
（I）若cos
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于
| π |
| 3 |
（I）由cos
cosφ-sin
sinφ=0得cos
cosφ-sin
sinφ=0
即cos(
+φ)=0又|φ|＜
，∴φ=
（Ⅱ）解法一：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
)依题意，
=
又T=
，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+
)
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+
]g（x）是偶函数当且仅当3m+
=kπ+
(k∈Z)即m=
+
(k∈Z)从而，最小正实数m=
解法二：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
)，依题意，
=
又T=
，故ω=3，∴f(x)=sin(3x+
)
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+
]，g（x）是偶函数当且仅当g（-x）=g（x）对x∈R恒成立
亦即sin(-3x+3m+
)=sin(3x+3m+
)对x∈R恒成立．∴sin(-3x)cos(3m+
)+cos(-3x)sin(3m+
)=sin3xcos(3m+
)+cos3xsin(3m+
)
即2sin3xcos(3m+
)=0对x∈R恒成立．∴cos(3m+
)=0
故3m+
=kπ+
(k∈Z)∴m=
+
(k∈Z)从而，最小正实数m=
| π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即cos(
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
（Ⅱ）解法一：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
| π |
| 4 |
| T |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| ω |
| π |
| 4 |
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 3 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
解法二：由（I）得，f(x)=sin(ωx+
| π |
| 4 |
| T |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| ω |
| π |
| 4 |
函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+
| π |
| 4 |
亦即sin(-3x+3m+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即2sin3xcos(3m+
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
故3m+
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| kπ |
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