Question

数列{an}的前n项和记为Sn，a1=t，an+1=Sn+1(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，且b₅=9，b₇=13．
（I）t为何值，数列{a_n}是等比数列？
（II）在（I）的条件下，若cn=an•bn(n∈N*)，设TN为数列{cn}的前n项和，求Tn．

Answer 1

（I）∵a_n+1=S_n+1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-1+1，
两式相减，得a_n+1-a_n=a_n，
∴a_n+1=2a_n，
要使数列{a_n}是等比数列，当且仅当

a2

a1

=2，即

t+1

t

=2，
∴t=1．
故t=1时，数列{a_n}是等比数列．
（II）∵数列{b_n}为等差数列，则公差d=

1

2

(b7-b5)=

1

2

(13-9)=2，
∴首项b₁=b₅-4d=9-4×2=1，
∴b_n=2n-1，
由（I）知，an=2n-1，n∈N^*，
∴c_n=a_n•b_n=2^n-1，n∈N^*
∴Tn=1×20+3×21+5×22+…+(2n-1)×2n-1，①
∴2Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+（2n-1）×2ⁿ，②
①-②，得-T_n=1×2⁰+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ，
∴T_n=3+（2n-3）×2ⁿ．