Question

2．已知$\frac{z-1}{z+1}$为纯虚数，且（z+1）（$\overline{z}$+1）=|z|²，求复数z．

Answer 1

分析 设$\frac{z-1}{z+1}$=mi（m∈R且m≠0），求出复数z，代入（z+1）（$\overline{z}$+1）=|z|²求得m的值，则复数z可求．

解答 解：设$\frac{z-1}{z+1}$=mi（m∈R且m≠0），则$z=\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}+\frac{2mi}{1+{m}^{2}}$，
又（z+1）（$\overline{z}$+1）=|z|²，得$|z{|}^{2}+z+\overline{z}+1=|z{|}^{2}$，
∴z+$\overline{z}=1$，即$\frac{2-2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}=1$，解得：$m=±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
当m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$z=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}+\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}i}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$；
当m=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$时，$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，考查了复数相等的条件，是基础的计算题．