Question

10．已知直线y=$\frac{1}{2}$x+m经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点F，交y轴于点P，c为双曲线的半焦距，O为坐标原点，若|OP|，2a，|OF|成等比数列，求此双曲线的离心率和渐近线方程．

Answer 1

分析 先求出P的坐标，再利用|OP|，2a，|OF|成等比数列，得到a，c的关系，即可求此双曲线的离心率和渐近线方程．

解答 解：由y=$\frac{1}{2}$x+m，令x=0，可得y=m，
∵直线y=$\frac{1}{2}$x+m经过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点F，
∴0=-$\frac{c}{2}$+m，
∴m=$\frac{c}{2}$，
∴|OP|=$\frac{c}{2}$，
∵|OP|，2a，|OF|成等比数列，
∴4a²=$\frac{c}{2}•c$，
∴c²=8a²，
∴e=$\frac{c}{a}$=2$\sqrt{2}$，b²=7a²，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{7}$，渐近线方程为y=±$\sqrt{7}$x．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．