Question

（2004•河西区一模）把边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长为x cm的相等的正方形，然后折成一个高度为x cm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

Answer 1

分析：设长方体高为x cm，求题意求出底面边长，并注明x的范围，再求出长方体容积V=V（x），再由条件求出函数的定义域，再求出V′（x），求出临界点、列表格，判断出函数的单调性，再由表格对k进行分类，分别求出V（x）的最大值和对应的x的值．

解答：解：设长方体高为x cm，则底面边长为（60-2x）cm，（0＜x＜30）（1分）
长方体容积V=V（x）=x（60-2x）²=4x（x-30）²（单位：cm³）（2分）
∵

x

60-2x

≤k，∴0＜x≤

60k

2k+1

．
即函数定义域为(0，

60k

2k+1

]，（3分）
V′（x）=4（x-30）²+8x（x-30）=4（x-30）（3x-30）=12（x-30）（x-10）（5分）
令V′（x）=0，解得x=10，x=30（不合题意舍去），于是

x	（0，10）	10	（10，30）
V′（x）	+	0	-
V（x）	↑		↓

（7分）
①当10≤

60k

2k+1

，即k≥

1

4

时，（8分）
在x=10时，V取得最大值为Vmax=40•202=16000（10分）
②当

60

2k+1

＜10，即0＜k＜

1

4

时，在x=

60k

2k+1

时，V取得最大值Vmax=

216000k

(2k+1)3

（12分）

点评：本题考查了函数的实际应用，利用导数来研究函数的单调性、最值问题等，注意自变量的实际意义，考查了分类讨论思想．