Question

18．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）（x∈R）．
（1）求f（x）的单调递减区间和图象的对称中心；
（2）经过怎样的图象变换使f（x）的图象关于y轴对称？（仅叙述一种方案即可）

Answer 1

分析 （1）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$ （k∈Z）即可解得f（x）的单调递减区间，由2x-$\frac{π}{3}$≤kπ，k∈Z可解得图象的对称中心．
（2）由诱导公式可得f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）=cos2（x+$\frac{π}{12}$）．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律即可得解．

解答 解　（1）由已知函数化为y=-sin（2x-$\frac{π}{3}$）．欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的单调递增区间．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$ （k∈Z），
解得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5}{12}$π （k∈Z），
∴原函数的单调减区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5}{12}$π]（k∈Z）．
由2x-$\frac{π}{3}$≤kπ，k∈Z可解得图象的对称中心是：（$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，0）k∈Z，
（2）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$-2x）=cos[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$-2x）]=cos（2x+$\frac{π}{6}$）=cos2（x+$\frac{π}{12}$）．
∵y=cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，
∴只需把y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位即可．

点评 本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．