Question

13．已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．
（1）求该函数的解析式；
（2）求该函数的单调增区间；
（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调增区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：（1）由函数图象可得：A=2，$\frac{1}{2}$T=$\frac{3π}{8}$-（-$\frac{π}{8}$），解得：T=π，由$π=\frac{2π}{ω}$，解得：ω=2，
由点（-$\frac{π}{8}$，2）在函数图象上，可得：2sin[2×（-$\frac{π}{8}$）+φ]=2，解得：φ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
由|φ|＜π，可得：φ=$\frac{3π}{4}$，
可得函数解析式为：y=2sin（2x+$\frac{3π}{4}$）．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数的单调增区间为：[kπ-$\frac{5π}{8}$，kπ-$\frac{π}{8}$]，k∈Z；
（3）把y=sinx（x∈R）的图象向左平移$\frac{3π}{4}$个单位得到y=sin（x+$\frac{3π}{4}$）的图象．
再把所得图象上的各个点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$倍，可得y=sin（2x+$\frac{3π}{4}$）的图象．
再把所得图象上的各个点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（2x+$\frac{3π}{4}$）的图象．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．