Question

10．在三角形ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$
（1）求角B；
（2）若角A是三角形ABC的最大角，求cos（B+C）+$\sqrt{3}$sinA的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由正弦定理求得a和b的关系式，与题设等式联立求得sinB=$\sqrt{3}$cosB，进而求得tanB的值，则B的值可求．
（2）利用诱导公式把cos（B+C）转化成-cosA，然后利用两角和公式整理，利用正弦函数的性质和A的范围求得原式的取值范围．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{\sqrt{3}cosB}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{sinA}{sinA}=\frac{sinB}{\sqrt{3}cosB}$，解得：sinB=$\sqrt{3}$cosB，
∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵0＜B＜π，
∴解得：B=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中，B+C=π-A，
所以cos（B+C）+$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinA-cosA=2sin（A-$\frac{π}{6}$），
由题意，得$\frac{π}{3}$≤A＜$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$≤A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
所以sin（A-$\frac{π}{6}$）∈[$\frac{1}{2}$，1），即2sin（A-$\frac{π}{6}$）∈[1，2），
所以cos（B+C）+$\sqrt{3}$sinA的取值范围是：[1，2）．

点评 本题主要考查了三角函数的化简求值，正弦定理的运用和两角和公式的化简求值．要求学生对三角函数的基本性质如单调性，值域，对称性等知识熟练掌握，属于中档题．