Question

【题目】已知椭圆与抛物线有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为，

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程：

（Ⅱ）求过点的直线与该椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，若，求的面积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据题意可以求出椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式，求出的值，然后结合椭圆的关系求出，最后写出椭圆的标准方程；

（Ⅱ）根据平面向量共线定理可以得出A，B两点横坐标和纵坐标之间的关系，再设出直线AB方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出直线AB的斜率，最后根据三角形面积结合根与系数关系求出的面积.

（Ⅰ）由题意，设椭圆的标准方程为，

由题意可得，又

，，所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设，，由得：，

验证易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为

联立椭圆方程，得：，整理得：，

得：，将代入得，

所以的面积.