题目内容
【题目】已知
.
(1)若是
上的增函数,求
的取值范围;
(2)若函数有两个极值点,判断函数
零点的个数.
【答案】(1) (2) 三个零点
【解析】
(1) 由题意知恒成立,构造函数
,对函数求导,求得函数最值,进而得到结果;(2)当
时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点,再证
,
.
(1)由得
,
由题意知恒成立,即
,设
,
,
时
,
递减,
时,
,
递增;
故,即
,故
的取值范围是
.
(2)当时,
单调,无极值;
当时,
,
一方面,,且
在
递减,所以
在区间
有一个零点.
另一方面,,设
,则
,从而
在递增,则
,即
,又
在
递增,所以
在区间
有一个零点.
因此,当时
在
和
各有一个零点,将这两个零点记为
,
,当
时
,即
;当
时
,即
;当
时
,即
:从而
在
递增,在
递减,在递增;于是
是函数的极大值点,
是函数的极小值点.
下面证明:,
由得
,即
,由
得
,
令,则
,
①当时
,
递减,则
,而
,故
;
②当时
,
递减,则
,而
,故
;
一方面,因为,又
,且
在
递增,所以
在
上有一个零点,即
在
上有一个零点.
另一方面,根据得
,则有:
,
又,且
在
递增,故
在
上有一个零点,故
在
上有一个零点.
又,故
有三个零点.
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