题目内容
【题目】如图,楔形几何体由一个三棱柱截去部分后所得,底面
侧面
,
,楔面
是边长为2的正三角形,点
在侧面
的射影是矩形
的中心
,点
在
上,且
(1)证明:平面
;
(2)求楔面与侧面
所成二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)做辅助线连接交
于
,连接
,
.根据
平面
,得到平面
平面
,又平面
平面
,则平面
平面
,
利用勾股定理计算出,再根据
,
,
,得
,
,则可证得
平面
.
(2)法一:向量法:建立如图所示的空间直角坐标系,列出各点的坐标求出向量,
.求出两个平面的法向量,利用余弦公式即可求出楔面
与侧面
所成二面角的余弦值.
法二:几何法:取的中点
,连接
,
.
即为楔面
与侧面
所成二面角的平面角.求出
、
、
各边长度,即可求出
,则得到楔面
与侧面
所成二面角的余弦值.
解:(1)证明:如图,连接交
于
,连接
,
.
则是
的中点,
.
因为平面
,所以平面
平面
,
又平面平面
,
所以平面平面
,
根据题意,四边形和
是全等的直角梯形,
三角形和
是全等的等腰直角三角形,
所以,
.
在直角三角形中,
,
所以,
,
,
于是,
,
所以,
.
因为平面
,
,
所以平面
.
(2)法一:向量法:以为坐标原点,
,
所在直线分别为
轴、
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
则,取
,
平面的一个法向量为
,
所以,
所以楔面与侧面
所成二面角的余弦值为
.
法二:几何法:如图,取的中点
,连接
,
.
即为楔面
与侧面
所成二面角的平面角.
在直角三角形中,
,
,
所以,
所以楔面与侧面
所成二面角的余弦值为
.
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