Question

【题目】已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数 的图象上.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和；

（3）已知数列满足，若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）.

【解析】

（1）将点代入函数的解析式得到，令，由可求出的值，令，由得，两式相减得出数列为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和；

（3）利用分组求和法与裂项法求出数列的前项和，由题意得出，判断出数列各项的符号，得出数列的最大值为，利用函数的单调性得出该函数在区间上的最大值为，然后解不等式可得出实数的取值范围.

（1）将点代入函数的解析式得到.

当时，，即，解得；

当时，由得，

上述两式相减得，得，即.

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此，；

（2），，

因此，①

，②

由①②得，

所以；

（3）．

令为的前项和，

则.

因为，，，，

当时，，

令，，

令，则，

当时，，此时，数列为单调递减数列，，

则，即，

那么当时，数列为单调递减数列，此时，则.

因此，数列的最大值为.

又，函数单调递增，

此时，函数的最大值为．

因为对任意的，存在，.

所以，解得，因此，实数的取值范围是.