Question

13．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为$\frac{π}{4}$和$\frac{π}{6}$，线段AB在α∩β=l上的射影为 A′B′，若AB=12，则A′B′=（　　）

• A． 4
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 连接AB′，BA′，由题设知∠B′AB=$\frac{π}{4}$，AA′⊥β，BB′⊥α，∠ABA′是AB与平面β所成的角，∠A′BA=$\frac{π}{6}$，由此能求出A′B′值．

解答 解：连接AB′，BA′，∵平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为$\frac{π}{4}$和$\frac{π}{6}$，线段AB在α∩β=l上的射影为 A′B′，∴BB′⊥α，
∴∠B′AB是AB与平面β所成的角，∴∠B′AB=$\frac{π}{4}$，
AA′⊥β，∴∠ABA′是AB与平面β所成的角，
∴∠A′BA=$\frac{π}{6}$，AB=12，
在直角三角形B′AB中，BB′=ABcos$\frac{π}{4}$=6$\sqrt{2}$，
在直角三角形A′BA中，A′B=ABcos$\frac{π}{6}$=6$\sqrt{3}$，
在直角三角形A′BB′中，A′B′=$\sqrt{A{′B}^{2}-BB{′}^{2}}$=$\sqrt{（{6\sqrt{3}）}^{2}-（{6\sqrt{2}）}^{2}}$=6．
故选：B．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．