题目内容

2.点F为双曲线C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的右焦点,以F为圆心的圆过坐标原点O,且与双曲线C的两渐近线分别交于A、B两点,若四边形OAFB是菱形,则双曲线C的离心率为2.

分析 由题意,△AOF是等边三角形,$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$,利用双曲线C的离心率为$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$,即可得出结论.

解答 解:由题意,△AOF是等边三角形,∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$,
∴双曲线C的离心率为$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+3}$=2.
故答案为:2.

点评 本题考查双曲线的方程与性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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