Question

3．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：平面PAC⊥平面PDB．

Answer 1

分析 （1）欲证PA∥平面EDB，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面EDB内一直线平行，连接AC，交BD于O，连接EO，根据中位线定理可知EO∥PA，PA?平面EDB，EO?平面EDB，满足定理所需条件；
（2）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PDB．

解答 证明：（1）设AC与BD相交于点O，则O为AC的中点．
∵E是P的中点，∴EO∥PA
又∵EO?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）∵PO⊥平面ABCD，∴PD⊥AC
又∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD
从而AC⊥平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．