题目内容
【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧面PAD是正三角形,侧面底面ABCD,M是PD的中点.
(1)求证:平面PCD;
(2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)在正方形ABCD中,证得,再在
中得到
,利用线面垂直的判定,即可得到
平面PCD;
(2)取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,证得是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,再直角
中,即可求得侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值.
(1)在正方形ABCD中,,
又侧面底面ABCD,侧面
底面
,
所以平面PAD,
平面PAD,所以
,
是正三角形,M是PD的中点,所以
,
又,所以
平面PCD.
(2)取AD,BC的中点分别为E,F,连接EF,PE,PF,
则,所以
,
又在正中,
,
平面PEF,
∵正方形ABCD中,平面PEF,
是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角,
由平面PAD,
,
平面PEF,
平面PAD,
.设正方形ABCD的边长
,则
,
所以,所以
,
即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为.
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