Question

2．（1）写出数列{a_n}的前五项，其中a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$．
（2）在等比数列{a_n}中，已知a₁=-1，a₄=64，求q，S₄．
（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+2n+3，求这个数列的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）通过a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$令n=2、3、4、5，直接代入计算即可；
（2）利用q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$计算可知公比q=-4，进而可知S₄的值；
（3）通过S_n=n²+2n+3与S_n+1=（n+1）²+2（n+1）+3作差，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵a₁=-$\frac{1}{4}$，a_n=1-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$，
∴a₂=1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-$\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=5，
a₃=1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-$\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，
a₄=1-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1-$\frac{1}{\frac{4}{5}}$=-$\frac{1}{4}$，
a₅=1-$\frac{1}{{a}_{4}}$=1-$\frac{1}{-\frac{1}{4}}$=5；
（2）∵q³=$\frac{{a}_{4}}{{a}_{1}}$=$\frac{64}{-1}$=-64，
∴q=-4，
∴S₄=$\frac{-1[1-（-4）^{4}]}{1-（-4）}$=51；
（3）∵S_n=n²+2n+3，
∴S_n+1=（n+1）²+2（n+1）+3，
两式相减得：a_n+1=（n+1）²+2（n+1）+3-（n²+2n+3）=2（n+1）+1，
又∵a₁=S₁=1+2+3=6不满足上式，
∴这个数列的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，}&{n=1}\\{2n+1，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．