题目内容
设F1、F2分别是椭圆C:
(a>b>0)的左右焦点。
(1)设椭圆C上点
到两点F1、F2距离和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点B的轨迹方程;
(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线L有关,不必证明你的结论。

(1)设椭圆C上点

(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段KF1的中点B的轨迹方程;
(3)设点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线L与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线L有关,不必证明你的结论。
解:(1)由于点
在椭圆上,
∴
,
又2a=4,
∴椭圆C的方程为
,焦点坐标分别为(-1,0),(1,0)。
(2)设KF1的中点为B(x, y),则点K(2x+1,2y),
把K的坐标代入椭圆
中得,
,
∴线段KF1的中点B的轨迹方程为
。
(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,
设
,
M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,得
,
,
∴
,
故:
的值与点P的位置无关,同时与直线L无关。

∴

又2a=4,
∴椭圆C的方程为

(2)设KF1的中点为B(x, y),则点K(2x+1,2y),
把K的坐标代入椭圆


∴线段KF1的中点B的轨迹方程为

(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,
设

M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,得


∴

故:


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