题目内容

设F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左右焦点。
（1）设椭圆C上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程；
（3）设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，试探究kPM·kPN的值是否与点P及直线L有关，不必证明你的结论。
解：（1）由于点在椭圆上，
∴，
又2a=4，
∴椭圆C的方程为，焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）。
（2）设KF1的中点为B（x， y），则点K（2x+1，2y），
把K的坐标代入椭圆中得，，
∴线段KF1的中点B的轨迹方程为。
（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设，
M，N，P在椭圆上，应满足椭圆方程，得，，
∴，
故：的值与点P的位置无关，同时与直线L无关。
练习册系列答案
相关题目
设F1、F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点．
（1）设椭圆C上点(
3
，
3
2
)到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦点，若椭圆C上的一点A（1，
3
2
）到F1，F2的距离之和为4．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上两个不同的点，线段MN的垂直平分线与x轴交于点P，求证：|
OP
|＜
1
2
；
（3）若M，N是椭圆C上两个不同的点，Q是椭圆C上不同于M，N的任意一点，若直线QM，QN的斜率分别为KQM•KQN．问：“点M，N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的什么条件？证明你的结论．
设F1、F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是C上的一个动点，且|PF1|+|PF2|=4，C的离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求C方程；
（Ⅱ）是否存在过点F2且斜率存在的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F1C|=|F1D|．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
（2013•肇庆二模）设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点(
2
2
，
3
2
)到F1，F2两点距离之和等于2
2
，写出椭圆C的方程；
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPN，kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

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