Question

设F₁、F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是C上的一个动点，且|PF₁|+|PF₂|=4，C的离心率为

1

2

．
（Ⅰ）求C方程；
（Ⅱ）是否存在过点F₂且斜率存在的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F₁C|=|F₁D|．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得椭圆的长轴长，结合离心率求出c，则b可求，椭圆的方程可求；
（Ⅱ）假设存在，设出直线方程，和椭圆方程联立利用跟与系数求出两个交点CD的中点，再由|F₁C|=|F₁D|可知椭圆左焦点在CD的中垂线上，代入坐标后得到矛盾式子，所以假设不成立．

解答：解：（Ⅰ）因为|PF₁|+|PF₂|=4，所以a=2，
因为离心率为

1

2

，所以c=1，所以b=

3

，
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，易知点F₂在椭圆的内部，
直线l与椭圆一定有两个交点，设直线l斜率为k，点C（x₁，y₁），点D（x₂，y₂）
直线l的方程为y=k（x-1），由方程组

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

．
得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0．
则x1+x2=

8k2

4k2+3

，x0=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，
∴y0=k(x0-1)=k(

4k2

4k2+3

-1)=

-3k

4k2+3

．
又|F₁D|=|F₁C|，所以F₁在CD的垂直平分线上，又CD的垂直平分线上方程为y+

3k

4k2+3

=-

1

k

(x-

4k2

4k2+3

)，
所以

3k

4k2+3

=-

1

k

(-1-

4k2

4k2+3

)．
所以5k²+3=0，不成立，所以不存在直线l，使得|F₁D|=|F₁C|．
综上所述，不存在直线l，使得|F₁D|=|F₁C|．

点评：本题考查了椭圆的定义及方程的求法，考查了椭圆的简单几何性质，是直线与圆锥曲线的综合题，解答的关键是把|F₁C|=|F₁D|转化为点F₁过CD的中垂线，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．