Question

设F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF₁的垂直平分线过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ]
• B．（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）
• C．[

  1

  3

  ，1）
• D．[

  1

  3

  ，

  2

  3

  ）

Answer 1

分析：若椭圆C上存在点P，使线段PF₁的垂直平分线过点F₂，只需以点F₂为圆心2c为半径的圆与椭圆有交点即可．

解答：解：因为设F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF₁的垂直平分线过点F₂，
则以点F₂为圆心2c为半径的圆与椭圆有交点，由椭圆的性质可知只需满足a-c≤2c，解得

c

a

≥

1

3

，所以椭圆离心率的取值范围是[

1

3

，1）．
故选C．

点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化是的应用，以及计算能力．