Question

（2013•肇庆二模）设F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点(

2

2

，

3

2

)到F₁，F₂两点距离之和等于2

2

，写出椭圆C的方程；
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F₂且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF₁的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PN，k_PN试探究k_PN•k_PN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用点(

2

2

，

3

2

)在椭圆上，椭圆C上的点(

2

2

，

3

2

)到F₁，F₂两点距离之和等于2

2

，求出几何量，即可求得椭圆C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2，即可求△ABF₁的面积；
（3）利用M，N，P在椭圆上，代入椭圆方程，两方程相减，再计算k_PN•k_PN的值，即可得到结论．

解答：解：（1）由于点(

2

2

，

3

2

)在椭圆上，所以

( 2 2 )2 a2 + ( 3 2 )2 b2 =1 2a=2 2

（2分）
解得

a2=2 b2=1

，（4分）
故椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1（5分）
（2）由（1）知椭圆C的左右焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），|F₁F₂|=2
所以，过椭圆的焦点F₂且斜率为1的直线方程为y=x-1
将其代入

x2

2

+y2=1，整理得3x²-4x=0，解得x1=0，x2=

4

3

当x₁=0时，y₁=-1，当x2=

4

3

时，y2=

1

3

所以△ABF₁的面积：S△ABF1=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

|F1F2|•|y1|+

1

2

|F1F2|•|y2|=

1

2

×2×1+

1

2

×2×

1

3

=

4

3

（9分）
（3）过原点的直线L与椭圆

x2

2

+y2=1相交的两点M，N关于坐标原点对称，
设M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），P（x，y），
∵M，N，P在椭圆上，
∴

x 2 0

2

+

y

2 0

=1，

x2

2

+y2=1
两式相减得

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

1

2

又∵kPN=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

，
∴kPN•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

1

2

故：k_PN•k_PN的值与点P的位置无关，同时与直线l无关．（14分）

点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．