Question

【题目】已知t为实数，函数f（x）=2loga（2x+t﹣2），g（x）=logax，其中0＜a＜1．
（1）若函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，求实数k的值；
（2）当x∈[1，4]时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方，求t的取值范围；
（3）设t=4，当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，若n﹣m的最小值为 ，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数y=g（ax+1）﹣kx是偶函数，

∴loga（a﹣x+1）+kx=loga（ax+1）﹣kx，对任意x∈R恒成立，

∴2kx=loga（ax+1）﹣loga（a﹣x+1）=loga（ ）=x

∴k= ，

（2）解：由题意设h（x）=f（x）﹣g（x）=2loga（2x+t﹣2）﹣logax＜0在x∈[1，4]恒成立，

∴2loga（2x+t﹣2）＜logax，

∵0＜a＜1，x∈[1，4]，

∴只需要2x+t﹣2＞ 恒成立，

即t＞﹣2x+ +2恒成立，

∴t＞（﹣2x+ +2）max，

令y=﹣2x+ +2=﹣2（ ）2+ +2=﹣2（ ﹣ ）2+ ，x∈[1，4]，

∴（﹣2x+ +2）max=1，

∴t的取值范围是t＞1，

（3）解：∵t=4，0＜a＜1，

∴函数y=|f（x）|=|2loga（2x+2）|在（﹣1，﹣ ）上单调递减，在（﹣ ，+∞）上单调递增，

∵当x∈[m，n]时，函数y=|f（x）|的值域为[0，2]，且f（﹣ ）=0，

∴﹣1＜m≤ ≤n（等号不同时取到），

令|2loga（2x+2）|=2，得x= 或 ，

又[ ﹣（﹣ ）]﹣[（﹣ ）﹣ ]= ＞0，

∴ ﹣（﹣ ）＞（﹣ ）﹣ ，

∴n﹣m的最小值为（﹣ ）﹣ = ，

∴a= ．

【解析】（1）根据偶函数的定义可得k的值；（2）构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），根据对数函数的图象和性质可得，只需要t＞﹣2x+ +2恒成立，根据二次函数的性质求出t的取值范围即可；（3）先判断函数y=|f（x）|的单调性，令|2loga（2x+2）|=2，得到x= 或 ，即可得到n﹣m的最小值为（﹣ ）﹣ = ，求出a即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．