题目内容

(本小题满分14分)

已知函数

   (I)若曲线与曲线相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;

   (II)设函数,当h(x)存在最小值时,求其最小值的解析式;

   (III)对(II)中的,证明:当时,

 

【答案】

(I)

由已知得解得

∴两条曲线交点的坐标为,切线的斜率为

∴切线的方程为 

   (II)由条件知

(i)当

上递减;

上递增。

上的唯一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点。

∴最小值

(ii)当上递增,无最小值。

故h(x)的最小值的解析式为

   (III)由(II)知

上递增,

上递减。

处取得最大值

上有且只有一个极值点,所以也是的最大值。、

时,总有

【解析】略

 

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