题目内容

已知以点C (t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
(2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若OM=ON,求圆C的方程.

(1)见解析;(2)(x-2)2+(y-1)2=5.

解析试题分析:(1)先求出圆的方程,然后求出与坐标轴的交点坐标,然后求SAOBOA·OB=|2t|·=4为定值;(2)由OM=ON,知O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,由C、H、O三点共线求出t=2或t=-2,从而得出圆方程.此题注意圆方程的取舍.
试题解析: (1)证明 由题设知,圆C的方程为(x-t)22=t2
化简得x2-2tx+y2y=0,当y=0时,x=0或2t,则A(2t,0);
当x=0时,y=0或,则B,∴SAOBOA·OB=|2t|·=4为定值.
(2)解 ∵OM=ON,则原点O在MN的中垂线上,设MN的中点为H,则CH⊥MN,
∴C、H、O三点共线,则直线OC的斜率k=,∴t=2或t=-2.
∴圆心为C(2,1)或C(-2,-1).
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5或(x+2)2+(y+1)2=5,
由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时,直线2x+y-4=0到圆心的距离d>r,此时不满足直线与圆相交,故舍去.
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
考点:1.圆的标准方程;2.直线与圆的位置关系.

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