题目内容
已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0).求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线。
当λ=1时,方程化为x=,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于点(,0);
当λ≠1时,方程化为它表示圆,圆心的坐标为(),半径为。
解析试题分析:
思路分析:利用“直接法”求得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0.
讨论λ=1和λ≠1的两种情况。
当λ=1时,方程化为x=,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于
点(,0);
当λ≠1时,方程化为它表示圆,圆心的坐标为(),半径为。
解:设MN切圆于N,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|},式中常数λ>0.因为圆的半径|ON|=1,
所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.
设点M的坐标为(x,y),则,
整理得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0.
经检验,坐标适合这个方程的点都属于集合P.故这个方程为所求的轨迹方程.
当λ=1时,方程化为x=,它表示一条直线,该直线与x轴垂直且交x轴于
点(,0);
当λ≠1时,方程化为它表示圆,圆心的坐标为(),半径为。
考点:求轨迹方程
点评:中档题,求轨迹方程方法较多,本题利用直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程.
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