题目内容

如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L⊥直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点。
试建立适当的直角坐标系,解决下列问题:

(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;
(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

(1);(2)详见解析

解析试题分析:(1)由已知得,又,则根据斜率的关系,且过点(2,0),可求,分别求直线与的交点的坐标,进而可求以为直径的圆的方程;(2)
,由直线的方程,分别求与的交点,得,利用勾股定理求以为直径的圆截轴的弦长为,长度为定值,故圆过定点.(1、该题还可以根据两直线的垂直关系设直线方程,斜率分别为,方法如上;2、对于探索型和开放型题目,大胆的猜想和必要的论证是解决问题非常好的方法).
试题解析:建立如图所示的直角坐标系,⊙O的方程为,直线L的方程为.
(1)∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为,∴,将x=4代入,得,∴MN的中点坐标为(4,0),MN=,∴以MN为直径的圆的方程为,同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是
(2)设点P的坐标为,∴),∴,∵,将x=4代入,得,∴,MN=,MN的中点坐标为
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。∴⊙必过⊙O内定点.
考点:1、直线和圆的方程;2、直线被圆所截的弦长计算方法;3、直线和圆的位置关系.

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