Question

【题目】已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在 上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：

f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣

=sin2ωx﹣ cos2ωx

=2sin（2ωx﹣ ）

由周期为π，得ω=1，得f（x）=2sin（2x﹣ ）

由正弦函数的单调递增区间得

2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ+ ，得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，

所以函数f（x）的单调递增区间是[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z

（2）解：将函数f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，

得到y=2sin2x+1的图象，所以g（x）=2sin2x+1

因为 ，所以 ，故2sinx∈[﹣1，2]，

所以函数g（x）的最大值为3，最小值为0．

【解析】（1）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得f（x）=2sin（2ωx﹣ ），利用周期公式算出ω=1，得函数解析式为f（x）=2sin（2x﹣ ）．再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（2）求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数在闭区间的最值即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．