Question

4．已知函数y=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0）在（-∞，-a）和（a，+∞）内均为增函数，在（-a、0）和（0，a）内均为减函数．若函数f（x）=x+$\frac{t}{x}$（t＞0）在整数集合Z内为增函数，则实数t的取值范围．

Answer 1

分析 先由函数$y=x+\frac{{a}^{2}}{x}$的单调性，便可得出f（x）的单调性，并得出f（x）的单调增区间：（-∞，$-\sqrt{t}$），（$\sqrt{t}，+∞$），从而根据f（x）在整数集合Z内为增函数便可得出0＜$\sqrt{t}≤1$，这样即可得出实数t的取值范围．

解答 解：根据题意，f（x）在（-∞，-$\sqrt{t}$），（$\sqrt{t}，+∞$）内为增函数；
要使f（x）在整数集合Z内为增函数，则：$\sqrt{t}≤1$；
又t＞0；
∴0＜t≤1；
∴实数t的取值范围为：（0，1]．

点评 考查函数单调性的定义，能够根据y=$x+\frac{{a}^{2}}{x}$的单调性得出函数f（x）的单调增区间，理解f（x）在整数集合Z内为增函数的含义．