题目内容
14.已知函数f(x)=x2-2ax+3.(1)若f(1)=2,求实数a的值;
(2)当x∈R时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;
(3)当x∈(0,2]时,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
分析 (1)将x=1代入,解相应方程可得实数a的值;
(2)当x∈R时,f(x)≥0恒成立,则△=4a2-12≤0,解得答案;
(3)(3)当x∈(0,2]时,f(x)≥0恒成立,则函数的最小值大于等于0,分类讨论函数的最小值,综合讨论结果,可得答案.
解答 解:(1)∵函数f(x)=x2-2ax+3.
∴f(1)=4-2a=2,
解得:a=1,
(2)若当x∈R时,f(x)≥0恒成立,
则△=4a2-12≤0,
解得:a∈[$-\sqrt{3},\sqrt{3}$],
(3)函数f(x)=x2-2ax+3的图象是开口朝上且以直线x=a为对称轴的抛物线,
当a≤0时,若f(x)>f(0)=3≥0恒成立,满足条件;
当0<a<2时,由f(x)≥f(a)=3-a2≥0得:a∈[$-\sqrt{3},\sqrt{3}$],此时0<a≤$\sqrt{3}$;
当a≥2时,由f(x)≥f(2)=7-4a≥0得a≤$\frac{7}{4}$,不满足存在满足条件的a值.
综上所述,满足条件的实数a的取值范围为(-∞,$\sqrt{3}]$
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.
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A. | 4 | B. | 12 | C. | 18 | D. | 24 |