Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知圆，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，设点的轨迹为曲线。

(1)求曲线的方程；

(2)若，设过点的直线与曲线分别交于点，其中，求证：直线必过轴上的一定点。(其坐标与无关)

Answer 1

【答案】(1) ； (2) 证明见解析

【解析】

（1）由椭圆的定义可直接求出求曲线的方程；（2）先求出直线的方程，再分别与椭圆联立方程组，求出两点的坐标并写出直线的方程

（1）∵在线段的垂直平分线上，∴

∴

由椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆

，∴

曲线的方程为：。

（2）点的坐标为

直线方程为：，即，

直线方程为：，即。

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，

解得：.

当时，直线方程为：

令，解得：。此时必过点；

当时，直线方程为：，与轴交点为。

所以直线必过轴上的一定点。