Question

规定记号“△”表示一种运算，即a△b=

a2+b2

+a+

3

b，记f（x）=（sin2x）△（cos2x）．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）求函数y=f（x）的最小正周期；
（3）若函数f（x）在x=x₀处取到最大值，求f（x₀）+f（2x₀）f（3x₀）的值

Answer 1

分析：（1）本题从新定义一种运算，同学们要先认清楚这种运算并能写出需要的解析式，
（2）后面的问题是三角函数恒等变化解决有关性质的问题，
（3）最后是代入自变量的值求函数值的问题

解答：解：（1）f(x)=

sin22x+cos22x

+sin2x+

3

cos2x
=1+sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）+1
（2）∵f(x)=2sin(2x+

π

3

) +1
∴T=

2π

2

=π
（3）∵2x0+

π

3

=2kπ+

π

2

∴x0=kπ+

π

12

(k∈Z)时f（x）有最大值，
∴f（x₀）+f（2x₀）+f（3x₀）=
2(sin

π

2

+sin

2π

3

+sin

5π

6

) +3
=6+

3

点评：新定义问题是最近几年经常出现的问题，关键是理解题意，后面的问题是通过应用公式进行恒等变形，在不断提高学生恒等变形能力的同时，让学生初步认识形式和内容的辩证关系．