题目内容

【题目】已知函数

(Ⅰ)若的图像在处的切线过点,求的值并讨论上的单调增区间;

(Ⅱ)定义:若直线与曲线都相切,则我们称直线为曲线的公切线.若曲线存在公切线,试求实数的取值范围.

【答案】见解析(Ⅱ).

【解析】试题分析】(I)求出函数处的切线方程,代入点求得的值.求出的表达式,求导后对分类讨论,由此求得函数的单调区间.(II)出发,设出其切点的横坐标,求得切线方程,同理求得的切线方程,联立这两条切线方程可求得的表达式,构造函数,利用导数证得有解,从而证得存在共切线.

试题解析

,得.又

故在的切线方程为.带入,得

.从而,

①当时,.故的单调增区间为

②当,即时,.故的单调增区间为

③当,即时,由,故的单调增区间为

综上,当时,的单调增区间为;当时,的单调增区间为

(Ⅱ)设的切点横坐标为

切线方程为……①

的切点横坐标为

切线方程为……②

联立①②,得,消去

考虑函数

,得

时,,函数在区间上单调递减,当时,,函数在区间上单调递增.

.故当时,方程有解,

从而,函数存在公切线.

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