题目内容
已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,若存在实数m、n使得h(x)=m•f(x)+n•g(x),则称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的函数.若f(x)=2cos2x-1,g(x)=sinx.(1)判断函数y=cosx是否为f(x)、g(x)在R上生成的函数,并说明理由;
(2)记l(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个函数,若

【答案】分析:(1)假设函数y=cosx是f(x)、g(x)在R上生成的函数,则存在实数m、n使得cosx=m(2cos2x-1)+nsinx,令x=0,得1=m+0①,令x=π,得-1=m②由①②进行推导即可判定
(2)由题意可设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R),则由
,可得a+b=4,即l(x)=-2asin2x+(4-a)sinx+a,设t=sinx,则函数l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1],结合函数的性质求解函数的最大值即可
解答:解:(1)函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数.
理由:假设函数y=cosx是f(x)、g(x)在R上生成的函数,
则存在实数m、n使得cosx=m(2cos2x-1)+nsinx
令x=0,得1=m+0①
令x=π,得-1=m②
由①②矛盾知:函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数
(2)设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R)
则
,∴a+b=4,∴l(x)=-2asin2x+(4-a)sinx+a
设t=sinx,则函数l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1]
当a=0时,函数化为:y=4t,t∈[-1,1]
∵当t=1时,ymax=4∴l(x)=4sinx,符合题意
当a>0时,函数化为:
当
时,即
时
∵当t=1时,ymax=4-2a
∴由4-2a=4得a=0,不符合a>0舍去
当
时,即
或
(舍去)时
∵当
时,
∴由
,得a=4或
(舍去)
∴b=0∴l(x)=4(2cos2x-1),符合题意
当
时,即
时,不符合a>0舍去
当a<0时,函数
的对称轴
∵当t=1时,ymax=4-2a
∴由ymax=4-2a=4得a=0,不符合a<0舍去
综上所述,l(x)=4sinx或l(x)=4(2cos2x-1)
点评:本题以新定义为载体,主要考查了函数性质的综合应用,解题的关键是灵活利用函数的性质及逻辑推理的能力.
(2)由题意可设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R),则由

解答:解:(1)函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数.
理由:假设函数y=cosx是f(x)、g(x)在R上生成的函数,
则存在实数m、n使得cosx=m(2cos2x-1)+nsinx
令x=0,得1=m+0①
令x=π,得-1=m②
由①②矛盾知:函数y=cosx不是f(x)、g(x)在R上生成的函数
(2)设l(x)=a(2cos2x-1)+bsinx(a,b∈R)
则

设t=sinx,则函数l(x)可化为:y=-2at2+(4-a)t+a,t∈[-1,1]
当a=0时,函数化为:y=4t,t∈[-1,1]
∵当t=1时,ymax=4∴l(x)=4sinx,符合题意
当a>0时,函数化为:

当


∵当t=1时,ymax=4-2a
∴由4-2a=4得a=0,不符合a>0舍去
当



∵当


∴由


∴b=0∴l(x)=4(2cos2x-1),符合题意
当


当a<0时,函数


∵当t=1时,ymax=4-2a
∴由ymax=4-2a=4得a=0,不符合a<0舍去
综上所述,l(x)=4sinx或l(x)=4(2cos2x-1)
点评:本题以新定义为载体,主要考查了函数性质的综合应用,解题的关键是灵活利用函数的性质及逻辑推理的能力.

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