Question

已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.
(1)求a,b的值.
(2)用定义证明f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)若对于任意t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立,求k的范围.

Answer 1

(1) a=1,b=1   (2)见解析   (3) k<-

(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=1.
经检验a=1,b=1符合题意.
(2)任取x₁,x₂∈R,且x₁<x₂,
则f(x₁)-f(x₂)=-
=
=.
∵x₁<x₂,∴->0,
又∵(+1)(+1)>0,
∴f(x₁)-f(x₂)>0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.
(3)∵t∈R,不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)<0恒成立,
∴f(t²-2t)<-f(2t²-k).
∵f(x)为奇函数,∴f(t²-2t)<f(k-2t²),
∵f(x)为减函数,∴t²-2t>k-2t²,
即k<3t²-2t恒成立,而3t²-2t=3(t-)²-≥-,∴k<-.